Từ Markowitz đến HERC: Tối ưu danh mục đầu tư hiện đại trên LightInvest

"Diversification is the only free lunch in investing." — Harry Markowitz, Nobel Prize 1990

Trong hơn 70 năm kể từ khi Harry Markowitz công bố lý thuyết Mean-Variance Optimization (MVO) năm 1952, ngành tài chính đã chứng kiến một cuộc cách mạng trong cách chúng ta nghĩ về phân bổ danh mục. Nhưng MVO có một bí mật mà ít sách giáo khoa nào nhắc đến: nó gần như không hoạt động trong thực tế.

Bài viết này sẽ đưa bạn qua hành trình từ Markowitz → HRP → HERC — và cách LightInvest triển khai các thuật toán này chạy ngay trên trình duyệt bằng Rust/WebAssembly.

Phần 1: Tại sao Markowitz thất bại trong thực tế?

1.1 Bài toán Mean-Variance Optimization

Markowitz (1952) đặt ra bài toán tối ưu:

$$\underset{w}{min}{w}^T\mathrm{\Sigma }w\text{s.t.}{w}^T\mu ={\mu }_p,w^T\mathbf{1}=1$$

Trong đó:

• $w$ là vector trọng số danh mục
• $\mathrm{\Sigma }$ là ma trận hiệp phương sai (covariance matrix) của lợi nhuận tài sản
• $\mu$ là vector lợi nhuận kỳ vọng
• ${\mu }_p$ là mức lợi nhuận mục tiêu

Giải bài toán này cho ta đường biên hiệu quả (Efficient Frontier) — tập hợp các danh mục tối ưu tại mỗi mức rủi ro.

1.2 "Estimation-Error Maximizer"

Vấn đề nằm ở chỗ: MVO đòi hỏi hai đầu vào mà chúng ta không thể ước lượng chính xác:

1. Lợi nhuận kỳ vọng ($\mu$): Gần như không thể dự đoán. Sai lệch nhỏ trong $\mu$ → thay đổi lớn trong trọng số tối ưu.

2. Ma trận hiệp phương sai ($\mathrm{\Sigma }$): Với $n$ tài sản, cần ước lượng $n(n+1)/2$ tham số. Với VN100 (100 mã), đó là 5,050 tham số! Sai số tích lũy khiến kết quả mất ổn định.

"Mean-Variance Optimization is, in practice, an estimation-error maximizer." — Michaud, R. (1989). The Markowitz Optimization Enigma. Financial Analysts Journal.

1.3 "Lời nguyền Markowitz" (Markowitz's Curse)

López de Prado (2016) chỉ ra một nghịch lý: đa dạng hóa càng nhiều → kết quả càng kém ổn định. Lý do: khi thêm tài sản, ma trận $\mathrm{\Sigma }$ trở nên gần suy biến (near-singular) — nghịch đảo ${\mathrm{\Sigma }}^{-1}$ khuếch đại sai số, tạo ra trọng số "vô lý" (short 200% mã A, long 300% mã B).

Vấn đề	Hệ quả thực tế
Nhạy với $\mu$	Thay đổi 0.1% return → danh mục xoay 180°
$\mathrm{\Sigma }$ không ổn định	Tương quan thay đổi theo regime (bull/bear)
Đòi hỏi short selling	Thị trường Việt Nam không cho phép bán khống
Tập trung vào 2-3 mã	Trái ngược với mục tiêu đa dạng hóa

Phần 2: HRP — Cuộc cách mạng phân cấp

2.1 Ý tưởng đột phá của López de Prado

Năm 2016, Marcos López de Prado — người sau đó được trao giải "Quant of the Year" bởi Journal of Portfolio Management — công bố bài báo:

López de Prado, M. (2016). Building Diversified Portfolios that Outperform Out-of-Sample. Journal of Portfolio Management, 42(4), 59-69.

Ý tưởng cốt lõi: thay vì nghịch đảo ma trận $\mathrm{\Sigma }$ (nguồn gốc mọi vấn đề), hãy sử dụng cấu trúc phân cấp (hierarchical structure) ẩn bên trong $\mathrm{\Sigma }$ để phân bổ vốn.

2.2 Ba bước của HRP

Bước 1: Hierarchical Clustering (Phân cụm phân cấp)

Chuyển ma trận tương quan thành khoảng cách:

$$d_{i,j}=\sqrt{\frac{1}{2}(1-{\rho }_{i,j})}$$

Rồi áp dụng hierarchical agglomerative clustering để xây dựng dendrogram — cây phân cấp thể hiện mối quan hệ "gần/xa" giữa các tài sản.

Bước 2: Quasi-Diagonalization (Sắp xếp lại ma trận)

Sắp xếp lại các tài sản theo thứ tự lá của dendrogram, sao cho các tài sản tương quan cao nằm cạnh nhau. Ma trận $\mathrm{\Sigma }$ sau khi sắp xếp lại có dạng quasi-diagonal — các cụm tương quan cao nằm trên đường chéo.

Bước 3: Recursive Bisection (Phân chia đệ quy)

Chia đệ quy danh mục thành hai nửa theo cây dendrogram. Tại mỗi nút, phân bổ vốn tỷ lệ nghịch với phương sai (variance) của mỗi nửa:

$$w_{left}=\frac{{\sigma }_{right}^{-1}}{{\sigma }_{left}^{-1}+{\sigma }_{right}^{-1}}$$

→ Nửa nào ít biến động hơn → nhận nhiều vốn hơn. Không cần nghịch đảo $\mathrm{\Sigma }$. Không cần ước lượng $\mu$.

2.3 Tại sao HRP vượt trội?

Tiêu chí	MVO	HRP
Cần $\mu$ (return kỳ vọng)?	✅ Bắt buộc	❌ Không cần
Cần nghịch đảo $\mathrm{\Sigma }$?	✅ Bắt buộc	❌ Không cần
Ổn định out-of-sample?	❌ Kém	✅ Tốt hơn
Cho phép > assets hơn samples?	❌ $\mathrm{\Sigma }$ suy biến	✅ Hoạt động bình thường
Kết quả trực giác?	❌ Thường vô lý	✅ Hợp lý

Phần 3: HERC — Bước tiến tiếp theo

3.1 Hạn chế của HRP

HRP gốc sử dụng naive bisection — chia danh sách tài sản tại điểm giữa, bất kể cấu trúc cụm thực tế. Điều này có thể tách rời hai tài sản vốn thuộc cùng một cụm tự nhiên.

3.2 Cải tiến của Raffinot

Thomas Raffinot (2018) đề xuất HERC trong bài báo:

Raffinot, T. (2018). The Hierarchical Equal Risk Contribution Portfolio. SSRN Working Paper.

Hai cải tiến quan trọng:

Cải tiến 1: Tree-based Bisection

Thay vì chia tại midpoint, HERC chia theo nút cha/con trái/phải của dendrogram. Đảm bảo mỗi lần chia đều tôn trọng cấu trúc cụm tự nhiên.

Cải tiến 2: Linh hoạt thước đo rủi ro

MVO chỉ dùng variance. HERC cho phép sử dụng:

• Standard Deviation (mặc định trên LightInvest)
• Expected Shortfall (CVaR) — đo đuôi trái phân phối
• Conditional Drawdown at Risk (CDaR) — max drawdown kỳ vọng

3.3 Thuật toán chi tiết trên LightInvest

LightInvest triển khai HERC bằng Rust, biên dịch sang WebAssembly, chạy trực tiếp trên trình duyệt. Cụ thể:

Ward Linkage (Lance-Williams Formula)

Thay vì single-linkage (dễ bị "chaining" — tạo chuỗi dài mất cân bằng), LightInvest sử dụng Ward linkage — phương pháp gộp cụm sao cho tổng phương sai nội cụm tăng ít nhất:

$$d(C_i\cup C_j,C_k)=\frac{(n_i+n_k)\cdot d_{ik}+(n_j+n_k)\cdot d_{jk}-n_k\cdot d_{ij}}{n_i+n_j+n_k}$$

Đây là công thức Lance-Williams — cho phép cập nhật khoảng cách $O(1)$ sau mỗi lần gộp, thay vì tính lại toàn bộ $O(n^2)$.

Tại sao Ward? Với danh mục lớn (VN100), Ward tạo cụm cân bằng kích thước → phân bổ trọng số đều hơn. Single-linkage tạo cụm "dây chuyền", dồn 80% trọng số vào 5-10 mã.

Recursive Bisection theo cây

          [Root: 100%]
         /            \
    [Bank: 60%]    [Tech+BĐS: 40%]
    /        \        /          \
[Big Bank] [Small] [Tech]    [BĐS]   
VCB,BID,CTG  ACB   FPT,VNG  VHM,NVL

Tại mỗi nút, trọng số phân bổ theo nghịch đảo rủi ro cụm:

$$w_{left}=allocation\times \frac{ris{k}_{right}^{-1}}{ris{k}_{left}^{-1}+ris{k}_{right}^{-1}}$$

Phần 4: Biến thể HERC trên LightInvest

LightInvest cung cấp 4 chiến lược dựa trên nền HERC:

4.1 HERC+ Momentum (Mặc định)

Kết hợp HERC base với Sharpe ratio tilting — ưu tiên mã có momentum tốt hơn:

1. Tính Sharpe cho từng mã:

$$Sharp{e}_i=\frac{EM{A}_{20}\times 252-5\mathrm{\%}}{{\sigma }_i\times \sqrt{252}}$$

• Return sử dụng EMA 20 ngày (nhạy hơn SMA)
• Risk-free rate = 5% (lãi suất VN)
• Volatility annualized bằng $\sqrt{252}$

2. Z-score tilting:

$$w_i^{\prime }=w_i^{base}\times (1+z_i\times 0.5)$$

Hệ số 0.5 được calibrate cẩn thận: $z/4$ quá yếu (low-vol stocks dominates), $z\times 1.0$ quá aggressive (turnover cao), $z\times 0.5$ cân bằng nhất với Ward linkage.

3. Ràng buộc:
   • Sharpe < 0 → giới hạn tại $1/N$ (trọng số trung bình)
   • Max weight cap: 10-50% tùy số mã
   • Iterative convergence: lặp đến khi tổng = 100%

4.2 HERC (Pure Risk Parity)

HERC thuần túy không tilt — phân bổ rủi ro đều giữa các cụm. Phù hợp khi thị trường sideways, không có momentum rõ ràng.

4.3 HERC+ Market Cap

Overlay vốn hóa thị trường lên HERC base:

$$z_i=\frac{\ln (MCa{p}_i)-\overline{\ln (MCap)}}{{\sigma }_{\ln (MCap)}}$$$$w_i^{\prime }=w_i^{base}\times (1+z_i\times 0.5)$$

Sử dụng log MCap (không phải MCap thô) vì phân phối vốn hóa rất lệch phải — VCB 400K tỷ vs DGC 30K tỷ. Log transform giúp Z-score phản ánh đúng tầm quan trọng tương đối.

4.4 Chia đều (Equal Weight)

Baseline đơn giản: $w_i=1/N$. Nghiên cứu của DeMiguel, Garlappi & Uppal (2009) cho thấy Equal Weight thường khó bị đánh bại out-of-sample bởi các phương pháp phức tạp hơn — đó là benchmark cần vượt qua.

Phần 5: Monte Carlo Simulation — "Tương lai" có thể đi đâu?

5.1 Geometric Brownian Motion (GBM)

LightInvest mô phỏng giá tài sản bằng GBM với Itô's Lemma drift adjustment:

$$S_t=S_0\cdot \exp [(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})\cdot t+\sigma \sqrt{t}\cdot Z]$$

Trong đó:

• $\mu$: drift (EMA return annualized)
• $\sigma$: volatility annualized
• $Z\sim N(0,1)$: biến ngẫu nhiên chuẩn
• $\mu -\frac{{\sigma }^2}{2}$: hiệu chỉnh Itô — đảm bảo $E[S_t]=S_0\cdot e^{\mu t}$

Tại sao cần $-{\sigma }^2/2$? Đây là hệ quả của bất đẳng thức Jensen: $E[\exp (X)]\ne \exp (E[X])$ khi $X$ là biến ngẫu nhiên. Nếu bỏ qua thành phần này, mô phỏng sẽ thiên lệch lên (upward bias), đánh giá quá lạc quan về danh mục.

5.2 Mô phỏng đa tài sản có tương quan

Các cổ phiếu không biến động độc lập — VCB tăng thì BID thường cũng tăng (tương quan cao). LightInvest sử dụng Cholesky decomposition để tạo biến ngẫu nhiên có tương quan:

$$Z_{correlated}=L\cdot Z_{independent}$$

Trong đó $L$ là ma trận tam giác dưới từ phân rã Cholesky: $\mathrm{\Sigma }=L\cdot L^T$.

5.3 Kết quả Monte Carlo

Chạy 10,000 kịch bản (paths), LightInvest cho bạn biết:

• P5 (Percentile 5%): Kịch bản xấu → "Nếu xui, mất tối đa bao nhiêu?"
• P95 (Percentile 95%): Kịch bản tốt → "Nếu thuận lợi, lãi tối đa bao nhiêu?"
• Median: Kịch bản trung bình

⚠️ Monte Carlo dựa trên biến động quá khứ. Nó KHÔNG dự đoán Black Swan — chỉ cho biết "nếu thị trường biến động tương tự quá khứ thì danh mục có thể dao động trong khoảng nào."

Phần 6: Correlation Matrix — Đa dạng hóa thực sự

Ma trận tương quan trên LightInvest giúp phát hiện:

Tương quan	Ý nghĩa	Ví dụ (VN)
> 0.7	Rất cao — giữ cả 2 = rủi ro tập trung	VCB-BID, HPG-HSG
0.3 – 0.7	Trung bình — đa dạng hóa một phần	FPT-VCB
< 0.3	Thấp — đa dạng hóa tốt	FPT-VHM
< 0	Âm — hedge tự nhiên	Hiếm gặp trên TTCK VN

Phần 7: Tại sao chạy trên WebAssembly?

LightInvest biên dịch toàn bộ engine tối ưu từ Rust → WebAssembly (WASM), chạy trực tiếp trên trình duyệt:

Tiêu chí	Server-side (Python)	WASM (Rust)
Tốc độ	500ms – 2s	< 50ms
Bảo mật	Data gửi lên server	100% local, data không đi đâu
Scalability	Server phải scale	Mỗi user tự tính trên máy
Offline	Không hoạt động	Hoạt động sau khi cache

Rust + WASM = near-native performance. Ward linkage clustering cho VN100 (100 mã × 252 ngày data) hoàn thành trong ~10ms trên máy trung bình.

Tổng kết: Vì sao HERC > MVO?

1952: Markowitz MVO
  ↓ (vấn đề: estimation error, $\Sigma^{-1}$ không ổn định)
2016: López de Prado → HRP  
  ↓ (cải tiến: không cần $\mu$, không cần $\Sigma^{-1}$)
2018: Raffinot → HERC
  ↓ (cải tiến: tree-based bisection, flexible risk measure)
2026: LightInvest → HERC+Mom/MCap trên WASM
  ↓ (thực chiến: Sharpe tilting, max-weight cap, Cholesky Monte Carlo)

Tài liệu tham khảo

1. Markowitz, H. (1952). Portfolio Selection. The Journal of Finance, 7(1), 77-91.
2. Michaud, R. (1989). The Markowitz Optimization Enigma: Is "Optimized" Optimal? Financial Analysts Journal, 45(1), 31-42.
3. López de Prado, M. (2016). Building Diversified Portfolios that Outperform Out-of-Sample. Journal of Portfolio Management, 42(4), 59-69.
4. Raffinot, T. (2018). The Hierarchical Equal Risk Contribution Portfolio. SSRN Working Paper.
5. DeMiguel, V., Garlappi, L., & Uppal, R. (2009). Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient is the 1/N Portfolio Strategy? Review of Financial Studies, 22(5), 1915-1953.
6. Ward, J.H. (1963). Hierarchical Grouping to Optimize an Objective Function. Journal of the American Statistical Association, 58(301), 236-244.

👉 Trải nghiệm ngay: lightinvest.vn/portfolio-management

📩 Nâng cấp Pro: Facebook LightInvest