Bài 2: Các Mô hình Định giá Quyền chọn (10.2)

IMPORTANT

Đây là bài học chuyên sâu về các mô hình toán học để định giá quyền chọn. Chúng ta sẽ đi từ mô hình Black-Scholes cơ bản cho đến các biến thể phức tạp hơn cho cổ tức, ngoại tệ, và mô hình Nhị thức cho quyền chọn kiểu Mỹ.

A. Các khái niệm cốt lõi

Thuật ngữ	Giải thích
Black-Scholes Model	Công thức định giá quyền chọn kiểu Âu (European) dựa trên giả định giá cổ phiếu biến thiên liên tục (Geometric Brownian Motion).
Binomial Model (Nhị thức)	Mô hình định giá theo từng bước rời rạc, có thể dùng cho cả quyền chọn kiểu Mỹ (American) vì cho phép kiểm tra điều kiện thực hiện sớm tại mỗi bước.
Cổ tức (Dividends)	Dòng tiền trả cho cổ đông. Việc trả cổ tức làm giảm giá cổ phiếu, do đó làm giảm giá trị Call option và tăng giá trị Put option.
Risk-Neutral Valuation	Định giá trung hòa rủi ro: Giả định rằng trong thế giới không có rủi ro, mọi tài sản đều tăng trưởng với lãi suất phi rủi ro ($r$).
Implied Volatility (IV)	Độ biến động ngầm định từ giá quyền chọn trên thị trường.

B. Công thức quan trọng

1. Công thức Black-Scholes (Cơ bản - Không cổ tức)

Áp dụng cho European Options trên cổ phiếu không cổ tức:

• Call: $C=S\cdot N(d_1)-K\cdot e^{-rT}\cdot N(d_2)$
• Put: $P=K\cdot e^{-rT}\cdot N(-d_2)-S\cdot N(-d_1)$

Trong đó:

$$d_1=\frac{\ln (S/K)+(r+{\sigma }^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}$$$$d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$$

2. Black-Scholes có Cổ tức (Merton Model)

• Trường hợp 1: Cổ tức biết trước ($D$)
  • Thay $S$ bằng $S^{\prime }=S-\text{PV}(D)$ (Giá cổ phiếu trừ đi hiện giá cổ tức).
• Trường hợp 2: Tỷ suất cổ tức liên tục ($q$ hoặc $y$) (Dùng cho Index/Currency)
  • Call: $C=S\cdot e^{-qT}\cdot N(d_1)-K\cdot e^{-rT}\cdot N(d_2)$
  • Put: $P=K\cdot e^{-rT}\cdot N(-d_2)-S\cdot e^{-qT}\cdot N(-d_1)$
  • $d_1$ điều chỉnh: thay $r$ bằng $r-q$.

C. Nội dung chính

10.2.1. Phân biệt Quyền chọn Kiểu Âu và Kiểu Mỹ

1. Quyền chọn Kiểu Âu (European):
   • Chỉ được thực hiện vào ngày đáo hạn ($T$).
   • Dễ định giá bằng công thức khép kín (như Black-Scholes).
2. Quyền chọn Kiểu Mỹ (American):
   • Được thực hiện bất kỳ lúc nào trước hoặc tại ngày đáo hạn.
   • American Call (Không cổ tức): Không bao giờ tối ưu để thực hiện sớm. Giá trị bằng European Call ($C_{Amer}=C_{Euro}$).
   • American Put: Có thể tối ưu để thực hiện sớm (khi giá cổ phiếu giảm sâu). Giá trị thường cao hơn European Put ($P_{Amer}\ge P_{Euro}$).
   • Định giá: Không có công thức khép kín đơn giản, phải dùng Mô hình Nhị thức (Binomial) hoặc phương pháp số trị.

10.2.2. Chi tiết Mô hình Black-Scholes mở rộng

Mô hình gốc có thể mở rộng cho các loại tài sản cơ sở khác nhau:

a. Cổ phiếu trả cổ tức (Stocks with Dividends)

Khi cổ phiếu trả cổ tức, giá cổ phiếu sẽ giảm vào ngày giao dịch không hưởng quyền.

• Nếu dùng Black-Scholes, ta phải điều chỉnh giá đầu vào $S$.
• Quy tắc: $S_{input}=S_{market}-\sum (D_i\times e^{-r{t}_i})$

b. Quyền chọn Chỉ số (Index Options)

• Chỉ số chứng khoán (như S&P 500, VN30) được xem như một tài sản trả cổ tức liên tục với tỷ suất $q$ (dividend yield).
• Sử dụng công thức điều chỉnh $q$ như ở Mục B.

c. Quyền chọn Tiền tệ (Currency Options - Mô hình Garman-Kohlhagen)

• Tài sản cơ sở là ngoại tệ. Lãi suất của ngoại tệ ($r_f$) đóng vai trò như tỷ suất cổ tức ($q$).
• Công thức: Thay $q=r_f$ (lãi suất phi rủi ro của đồng tiền cơ sở).

d. Chứng quyền (Warrants)

• Khác biệt cơ bản: Khi chứng quyền được thực hiện, công ty phát hành cổ phiếu MỚI $\to$ Tổng số lượng cổ phiếu lưu hành tăng lên $\to$ Pha loãng (Dilution).
• Quyền chọn (Options) thông thường không gây pha loãng (vì chỉ là trao đổi cổ phiếu cũ giữa các NĐT).
• Định giá Warrant phải nhân thêm hệ số pha loãng: $W=\text{BlackScholes Value}\times \frac{N}{N+M}$
  • $N$: Số cổ phiếu cũ.
  • $M$: Số chứng quyền phát hành.

10.2.9. Mô hình Nhị thức (Binomial Model)

Đây là phương pháp định giá linh hoạt nhất, đặc biệt cho Quyền chọn Kiểu Mỹ.

Cơ chế 1 bước (One-Step):

1. Giá hiện tại $S$. Sau 1 kỳ $\mathrm{\Delta }t$, giá có thể lên $Su$ hoặc xuống $Sd$.
2. Tính giá trị quyền chọn tại cuối kỳ: $f_u$ và $f_d$.
3. Tính giá trị hiện tại $f$ bằng xác suất trung hòa rủi ro $p$:$$f=e^{-r\mathrm{\Delta }t}[p\cdot f_u+(1-p)\cdot f_d]$$
   • Với $p=\frac{e^{r\mathrm{\Delta }t}-d}{u-d}$
   • Thông thường chọn $u=e^{\sigma \sqrt{\mathrm{\Delta }t}}$ và $d=1/u$.

Với American Options: Tại mỗi nút của cây nhị thức, ta so sánh:

• Giá trị nắm giữ (Hold): Tính theo công thức chiết khấu trên.
• Giá trị thực hiện ngay (Exercise): $S-K$ (với Call) hoặc $K-S$ (với Put).
• $\to$ Lấy giá trị MAX của 2 lựa chọn này. Đây là điểm mà Black-Scholes không làm được.

D. Lưu ý đặc biệt / Case Study

• Case Study: Early Exercise của American Put:
  • Giả sử bạn giữ Put option giá thực hiện $K=100$. Giá cổ phiếu rơi về $S=1$ (phá sản).
  • Nếu chờ đáo hạn (còn 1 năm), bạn có thể lãi $99$ nhưng phải chờ.
  • Nếu thực hiện ngay, bạn nhận $99$ ngay lập tức và có thể gửi ngân hàng lấy lãi.
  • $\to$ Thực hiện sớm là tối ưu.
• Giả định Phân phối: Black-Scholes giả định $ln(S)$ phân phối chuẩn (Normal), tức là $S$ phân phối Lognormal. Điều này ngăn giá cổ phiếu âm ($S>0$).