Bài 1: Các khái niệm Xác suất (2.1)

A. Các khái niệm cốt lõi

Thuật ngữ	Giải thích
Không gian mẫu	Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra (trạng thái tự nhiên) của một biến ngẫu nhiên.
Xác suất ( $p_{i}$ )	Khả năng xảy ra của một trạng thái $s$ . Tổng xác suất của tất cả các sự kiện trong không gian mẫu luôn bằng 1 ( $\sum p_{i} = 1$ ).
Biến ngẫu nhiên	Một đại lượng nhận giá trị ngẫu nhiên tùy thuộc vào kết quả của một phép thử (Ví dụ: Tỷ suất lợi nhuận tương lai).
Cây xác suất	Biểu đồ dạng cây dùng để mô tả các trạng thái có thể xảy ra theo trình tự thời gian.
Phân phối nhị thức	Mô hình mà tại mỗi thời điểm, kết quả chỉ có thể là một trong hai trạng thái (ví dụ: Tăng hoặc Giảm).
Phân phối liên tục	Phân phối mà biến ngẫu nhiên có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong một khoảng (đồ thị dạng đường cong liền mạch).

Trong đầu tư tài chính, chúng ta không biết chắc chắn tương lai nhưng có thể liệt kê các "trạng thái tự nhiên" (kịch bản) có thể xảy ra.
Việc gán xác suất cho mỗi kịch bản giúp định lượng hóa kỳ vọng và rủi ro.
Nguyên tắc: $0 \leq p_{i} \leq 1$ và $\sum p_{i} = 100 %$ .

Được sử dụng để mô hình hóa biến động giá tài sản theo thời gian.
Ví dụ mô hình cây nhị thức đơn giản cho giá cổ phiếu:
- Giá hiện tại $S_{0}$ .
- Sau 1 kỳ: Giá lên $S_{u p}$ (xác suất $p$ ) hoặc Giá xuống $S_{d o w n}$ (xác suất $1 - p$ ).
Khi chia nhỏ thời gian, cây nhị thức hội tụ về phân phối chuẩn (mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes dựa trên cơ sở này).

Phân phối xác suất là hàm số hoặc quy luật gán mỗi giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên với một xác suất tương ứng.
Phân phối rời rạc: Biểu diễn bằng các cột (Histogram), thường dùng khi số lượng quan sát ít.
Phân phối liên tục: Biểu diễn bằng diện tích dưới đường cong mật độ xác suất.
- Xác suất để biến ngẫu nhiên nhận một giá trị chính xác cụ thể là 0.
- Ta chỉ tính xác suất để biến ngẫu nhiên nằm trong một khoảng $(a, b)$ $\to$ tương ứng với diện tích dưới đường cong từ a đến b.

Bài này chủ yếu giới thiệu khái niệm, công thức tính toán xác suất cơ bản:

P (A) = \frac{Số kết quả thuận lợi cho A}{Tổng số kết quả có thể xảy ra}

Công thức tính xác suất tích lũy (cho phân phối liên tục):

P (R > R^{*}) = 1 - P (R \leq R^{*})

(Xác suất giá trị lớn hơn $R^{*}$ bằng 1 trừ đi xác suất giá trị nhỏ hơn hoặc bằng $R^{*}$ ).

Lưu ý: Trong thực tế, nhà đầu tư thường không biết chính xác phân phối xác suất "thực" của thị trường mà phải ước lượng dựa trên dữ liệu lịch sử.
Phân phối thực tế: Lợi suất chứng khoán thường không tuân theo phân phối chuẩn hoàn hảo mà thường có "đuôi béo" (Fat tails) - nghĩa là các sự kiện cực đoan (thị trường sập mạnh hoặc tăng nóng) xảy ra thường xuyên hơn so với dự đoán của mô hình phân phối chuẩn.